第三百八十五章 Lipschitz函数
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385章
《黎曼流形上Fritz John必要最优性条件》！
这是程诺未来两个月内要研究项目的拟定课题。
菲涅尔教授在小隔间内简短的对程诺和赫尔说了一些需要注意的事项之外，便让两人拿着文件回去做做准备，次日再正式开始研究课题。
程诺自然是没有意见。
他也想趁这点时间，了解一下课题相关的一些知识。
虽然他的任务可能只是给菲涅尔教授打打下手，但做好充足的准备总归是没错的。
程诺坐在办公桌上，一只手撑着下巴，另一只手翻着菲涅尔给他的文件。
黎曼流形这个课题，是由米国的克雷数学研究所直批的2022年50个国家重点数学科研项目之一。
这五十个数学科研项目，无论是在项目难度，还是重要程度，都属于世界前列。
实际上，作为当今世界数学领域最发达的几个国家之一，米国的克雷数学研究所就是担任引领世界数学前沿的作用。
在加上克雷数学研究所财大气粗的特性，这五十个国家重点数学科研项目，每个给出了十万美元的资金支持。
并且，担任这五十个科研项目的研究工作的数学家，全部属于世界顶级的数学家。
就如程诺现在的老板菲涅尔教授，作为几何学领域的超级大牛，五十个项目中有关几何学领域的三个课题，克雷研究所将最难的那一个交给他来做。
也就是程诺手中拿到的这个黎曼流形的课题。
一上午的时间，程诺一边阅读着文件，一边在网上找着相关的论文读。
难！真的难！
这是程诺研究一上午给出的结果。
他终于知道为什么克雷数学研究所为什么要把这个课题交给菲涅尔教授来做了，因为当今数学界，能保证在两个月内搞定这个课题的数学家，恐怕不会超过五指之数。
而菲涅尔教授，显然是最稳妥的那一个。
给予的科研时间太短不说，网上有关这方面的论文和资料实在是太少，也就意味着，他们几乎是从零开始。
黎曼流形，本来就是几何学领域研究的超难点，再加上函数论和微分的相关知识，足以叫世界上大部分数学家抓狂。
扪心自问，要是把这个项目交给程诺自己一人来完成，至少三年起步。
“看来暂时，还是要牢牢抱住菲涅尔教授这根大腿啊！”程诺感慨了一句，继续埋头收集起资料。
………………
次日，程诺早早来到办公室。
菲涅尔教授一到，程诺和赫尔再次被叫到那间小隔间里。
“准备的怎么样？”菲涅尔教授上来就开口问道。
赫尔苦笑一下，“老师，网上关于这方面的资料确实太少了，图书馆那边也没有相关度太高的书籍，所以……”
菲涅尔教授摆摆手，似乎预料到这种情况。
“目前这个方向的数学研究，确实是一片空白，所以才需要我们去研究，去填充！”菲涅尔教授的目光在两人的脸上缓缓扫过，“所以我昨天说，你们要做好心理准备。这是一场硬仗！”
“从零开始，没有任何可以借鉴的资料，而且时限……只有两个月！”
菲涅尔教授继续说道，“我不会说什么加油激励的话，只希望你们两个不要忘记来这的目的，想要退出，我随时欢迎。”
“多余的话说道这里，现在我们来谈谈课题的事情。”
菲涅尔教授让两人找位置坐下，搬过来一台笔记本电脑，打开一份PPT，指着道，“这是我做的一个简短的课题研究流程。”
“这个项目，我做主导，你们两个的任务就是辅助我，解决一些难度不算大的环节。”
程诺和赫尔点点头，表示知道。
以他们两个的能力，还不足以撑起这个项目的框架。
菲涅尔教授继续做着讲解，“这个项目的拟定名称，叫做黎曼流形上Fritz John必要最优性条件。那就首先要明白，何谓黎曼流形，何谓Fritz John必要最优性条件！”
“黎曼流形这个概念不用说，而Fritz John必要最优性条件对你们来说应该比较陌生。”他先把目光望向程诺，“程诺，你了解这个概念吗？”
程诺不假思索的回答，“所谓的Fritz John必要最优性条件，便是指minf(x)，st.{g(x)≤0，h(x)=0，x∈M的必要最优性条件。”
“不错，这就是Fritz John必要最优性条件。你们也看出来了，这个Fritz John必要最优性条件如果直接去研究的话，不仅变量极多，函数方程不好定义之外，还存在推导过程中公式复杂的问题。”
“也因此，我们需要转换一下思路。”
菲涅尔教授翻到下一页PPT，上面只写着一行公式：
f:M→R，g:M→R^l，h:M→R^n
程诺扫了一眼，恍然大悟一声，“Lipschitz函数？！”
菲涅尔教授瞥了一眼程诺，目光带着一丝赞赏，“准确的说，是局部Lipschitz函数！”
Lipschitz函数，是指若f(x)在区间I上满足对定义域D的任意两个不同的实数x1、x2均有：∥f(x1)-f(x2)∥<=K∥x1-x2∥成立，必定有f(x)在区间I上一致连续.
程诺心中，已经大概明白了这个项目菲涅尔教授的破题点是什么了。
菲涅尔教授继续他的理论讲解，“在这个公式中，我们可以把M当做一个m维的黎曼流形。”
“艾顿可的那篇关于Hilbert空间中MP问题的论文，你们两个都应该有读到过吧？”
两人同时点头。
“那就好了，类比一下，我们就可以把MP问题从线性的空间扩展到微分流形上，而微分流形又是非光滑的，那么我们就可以有如下的框架构建。”
下一张 PPT展示在两人面前。
“第一步，在黎曼流形上建立非光滑分析工具，即在流形上定义广义方向导数和广义梯度。”
“第二步，讨论广义梯度的性质。”
“第三步，在前两步的基础上，讨论黎曼流形上问题(MP)的Fritz John型最优性条件．”
“第四步，……”
框架早已被菲涅尔教授搭建好。
而程诺在看到那一条条井然有序的过程步骤，有一种醍醐灌顶的感觉。
原来，这个项目，应该这样去做！
385章
《黎曼流形上Fritz John必要最优性条件》！
这是程诺未来两个月内要研究项目的拟定课题。
菲涅尔教授在小隔间内简短的对程诺和赫尔说了一些需要注意的事项之外，便让两人拿着文件回去做做准备，次日再正式开始研究课题。
程诺自然是没有意见。
他也想趁这点时间，了解一下课题相关的一些知识。
虽然他的任务可能只是给菲涅尔教授打打下手，但做好充足的准备总归是没错的。
程诺坐在办公桌上，一只手撑着下巴，另一只手翻着菲涅尔给他的文件。
黎曼流形这个课题，是由米国的克雷数学研究所直批的2022年50个国家重点数学科研项目之一。
这五十个数学科研项目，无论是在项目难度，还是重要程度，都属于世界前列。
实际上，作为当今世界数学领域最发达的几个国家之一，米国的克雷数学研究所就是担任引领世界数学前沿的作用。
在加上克雷数学研究所财大气粗的特性，这五十个国家重点数学科研项目，每个给出了十万美元的资金支持。
并且，担任这五十个科研项目的研究工作的数学家，全部属于世界顶级的数学家。
就如程诺现在的老板菲涅尔教授，作为几何学领域的超级大牛，五十个项目中有关几何学领域的三个课题，克雷研究所将最难的那一个交给他来做。
也就是程诺手中拿到的这个黎曼流形的课题。
一上午的时间，程诺一边阅读着文件，一边在网上找着相关的论文读。
难！真的难！
这是程诺研究一上午给出的结果。
他终于知道为什么克雷数学研究所为什么要把这个课题交给菲涅尔教授来做了，因为当今数学界，能保证在两个月内搞定这个课题的数学家，恐怕不会超过五指之数。
而菲涅尔教授，显然是最稳妥的那一个。
给予的科研时间太短不说，网上有关这方面的论文和资料实在是太少，也就意味着，他们几乎是从零开始。
黎曼流形，本来就是几何学领域研究的超难点，再加上函数论和微分的相关知识，足以叫世界上大部分数学家抓狂。
扪心自问，要是把这个项目交给程诺自己一人来完成，至少三年起步。
“看来暂时，还是要牢牢抱住菲涅尔教授这根大腿啊！”程诺感慨了一句，继续埋头收集起资料。
………………
次日，程诺早早来到办公室。
菲涅尔教授一到，程诺和赫尔再次被叫到那间小隔间里。
“准备的怎么样？”菲涅尔教授上来就开口问道。
赫尔苦笑一下，“老师，网上关于这方面的资料确实太少了，图书馆那边也没有相关度太高的书籍，所以……”
菲涅尔教授摆摆手，似乎预料到这种情况。
“目前这个方向的数学研究，确实是一片空白，所以才需要我们去研究，去填充！”菲涅尔教授的目光在两人的脸上缓缓扫过，“所以我昨天说，你们要做好心理准备。这是一场硬仗！”
“从零开始，没有任何可以借鉴的资料，而且时限……只有两个月！”
菲涅尔教授继续说道，“我不会说什么加油激励的话，只希望你们两个不要忘记来这的目的，想要退出，我随时欢迎。”
“多余的话说道这里，现在我们来谈谈课题的事情。”
菲涅尔教授让两人找位置坐下，搬过来一台笔记本电脑，打开一份PPT，指着道，“这是我做的一个简短的课题研究流程。”
“这个项目，我做主导，你们两个的任务就是辅助我，解决一些难度不算大的环节。”
程诺和赫尔点点头，表示知道。
以他们两个的能力，还不足以撑起这个项目的框架。
菲涅尔教授继续做着讲解，“这个项目的拟定名称，叫做黎曼流形上Fritz John必要最优性条件。那就首先要明白，何谓黎曼流形，何谓Fritz John必要最优性条件！”
“黎曼流形这个概念不用说，而Fritz John必要最优性条件对你们来说应该比较陌生。”他先把目光望向程诺，“程诺，你了解这个概念吗？”
程诺不假思索的回答，“所谓的Fritz John必要最优性条件，便是指minf(x)，st.{g(x)≤0，h(x)=0，x∈M的必要最优性条件。”
“不错，这就是Fritz John必要最优性条件。你们也看出来了，这个Fritz John必要最优性条件如果直接去研究的话，不仅变量极多，函数方程不好定义之外，还存在推导过程中公式复杂的问题。”
“也因此，我们需要转换一下思路。”
菲涅尔教授翻到下一页PPT，上面只写着一行公式：
f:M→R，g:M→R^l，h:M→R^n
程诺扫了一眼，恍然大悟一声，“Lipschitz函数？！”
菲涅尔教授瞥了一眼程诺，目光带着一丝赞赏，“准确的说，是局部Lipschitz函数！”
Lipschitz函数，是指若f(x)在区间I上满足对定义域D的任意两个不同的实数x1、x2均有：∥f(x1)-f(x2)∥<=K∥x1-x2∥成立，必定有f(x)在区间I上一致连续.
程诺心中，已经大概明白了这个项目菲涅尔教授的破题点是什么了。
菲涅尔教授继续他的理论讲解，“在这个公式中，我们可以把M当做一个m维的黎曼流形。”
“艾顿可的那篇关于Hilbert空间中MP问题的论文，你们两个都应该有读到过吧？”
两人同时点头。
“那就好了，类比一下，我们就可以把MP问题从线性的空间扩展到微分流形上，而微分流形又是非光滑的，那么我们就可以有如下的框架构建。”
下一张 PPT展示在两人面前。
“第一步，在黎曼流形上建立非光滑分析工具，即在流形上定义广义方向导数和广义梯度。”
“第二步，讨论广义梯度的性质。”
“第三步，在前两步的基础上，讨论黎曼流形上问题(MP)的Fritz John型最优性条件．”
“第四步，……”
框架早已被菲涅尔教授搭建好。
而程诺在看到那一条条井然有序的过程步骤，有一种醍醐灌顶的感觉。
原来，这个项目，应该这样去做！